3-4. 負荷慣性モーメントの算出
駆動機構の条件をもとに、負荷慣性モーメントを算出します。慣性モーメントは、機構と搬送物のそれぞれに発生します。
それぞれの慣性モーメントを求めた後、それらの値を合計し、装置の全負荷慣性モーメントを求めます。
全負荷慣性モーメントの値は、3-5. 加速トルクの算出や5-2. イナーシャ比の確認に必要です。
機構の慣性モーメントの求め方
機構の慣性モーメントは以下の計算式で算出します。
円柱の慣性モーメントの計算式
【円柱の質量がわかる場合】
\(\bbox[8pt, border: 1px solid black]{\begin{align}
{J_x} = \frac{1}{8}\ \mathrm{m}\cdot{{D_1}^2}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\hspace{25pt} {J_y}=\frac{1}{4}\ \mathrm{m} \left(\frac{{D_1}^2}{4}+\frac{{L^2}}{3}\right)\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}}\)
【円柱の質量が不明の場合】
\(\bbox[8pt, border: 1px solid black]{\begin{align}
{J_x} = \frac{\pi}{32}\ \rho\cdot{L}\cdot{{D_1}^4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\hspace{25pt} {J_y}=\frac{\pi}{16}\ \rho\cdot{L}\cdot{{D_1}^2} \left(\frac{{D_1}^2}{4}+\frac{{L^2}}{3}\right)\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}}\)
インデックステーブルの慣性モーメントの計算式
\(\bbox[8pt, border: 1px solid black]{\begin{align}
{J_T} = \frac{\pi}{32}\ \rho\cdot{L_T}\cdot{{D_T}^4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}}\)
- ※ 上記以外の慣性モーメントの計算式については、技術資料に掲載しています。
-
- Jx
- x軸に関する慣性モーメント
- Jy
- y軸に関する慣性モーメント
- m
- テーブルとワークの総重量 [kg]
- D1
- 外径 [m]
- L
- 長さ [m]
- DT
- インデックステーブルの直径 [m]
- LT
- インデックステーブルの厚さ [m]
-
- ρ
-
密度 [kg/m3]
- 鉄
- 7.9 × 103
- 黄銅
- 8.5 × 103
- ステンレス
- 8.0 × 103
- アルミ
- 2.8 × 103
- ナイロン
- 1.1 × 103
ワークの慣性モーメントの求め方
実際に搬送するワークの慣性モーメントは以下の計算式で算出します。
直動機構の場合は、搬送テーブルの慣性モーメントも含みます。
直動運転する物体の慣性モーメントの計算式
\(\bbox[8pt, border: 1px solid black]{\begin{align}
{J} = \mathrm{m}\left(\frac{A}{2\pi}\right)^2\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}}\)
インデックステーブル上のワークの慣性モーメント
インデックステーブルでは、テーブルの回転中心回りの慣性モーメントを算出するとき、まずワーク中心軸回りの慣性モーメントを求める必要があります。
【ワーク中心軸回りの慣性モーメント】
\(\bbox[8pt, border: 1px solid black]{\begin{align}
{J_{w^1}} = \frac{1}{8}\ {M_w}\cdot{D_w}^2\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}}\)
上の式で求めた値をもとに、テーブルの回転中心回りの慣性モーメントを算出します。
【テーブルの回転中心回りの慣性モーメント】
\(\bbox[8pt, border: 1px solid black]{\begin{align}
{J_w} = {J_{w^1}} + {M_w} \times {l^2}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}}\)
- ※ 上記以外の慣性モーメントの計算式については、技術資料に掲載しています。
-
- A
- モーター軸1回転あたりの移動量 [m]
- m
- テーブルとワークの総重量 [kg]
-
- DW
- ワークの直径 [m]
- MW
- ワークの質量 [kg]
負荷慣性モーメントの計算例
- 手順
-
① 機構の慣性モーメントを求める
② ワークの慣性モーメントを求める ※ 直動駆動の場合、搬送テーブルの慣性モーメントを含む
③ 全負荷慣性モーメントを求める
ボールねじの慣性モーメント（JB）を求める
機構条件をもとに、ボールねじの慣性モーメント（JB）を求めます。
\(\begin{align}
\text{ボールねじの慣性モーメント}\ {J_B} & = \frac{\pi}{32}\ \rho\cdot{L_B}\cdot{{D_B}^4}\\[ 5pt ]
& = \frac{\pi}{32}\times\ 7.9 \times 10^3\ [\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3] \times 600 \times 10^{-3}\ [\mathrm{m}]\times {\left(15\times 10^{-3} [\mathrm{m}]\right)}^4\\[ 5pt ]
& = 0.236 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]
\end{align}\)
機構条件
- ρ（密度・鉄） ： 7.9 × 103 [kg/m3]
- LB（ボールねじの全長） ： 600 [mm]
- DB（ボールねじの軸径） ： 15 [mm]
テーブルとワークの慣性モーメント（JT）を求める
機構条件をもとに、テーブルとワークの慣性モーメント（JT）を求めます。（※ 搬送テーブルの慣性モーメントを含む）
\(\begin{align}
\text{ワークの慣性モーメント}\ {J_T} & = \mathrm{m}\ \left(\frac{P_B}{2\pi}\right)^2\\[ 5pt ]
& = 27.5\ [\mathrm{kg}] \times \left(\frac{20 \times 10^{-3}[\mathrm{m}]}{2\pi}\right)^2\\[ 5pt ]
& = 2.79 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]
\end{align}\)
機構条件
- PB（ボールねじのリード） ： 20 × 10-3 [m]
全負荷慣性モーメント（JL）を求める
ボールねじの慣性モーメント（JB）と、テーブルとワークの慣性モーメント（JT）を合計し、全負荷慣性モーメント（JL）を求めます。
\(\begin{align}
\text{全負荷慣性モーメント}\ {J_L} & = {J_B} + {J_T}\\[ 5pt ]
& =0.236\times 10^{-4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}] + 2.79 \times 10^{-4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\\[ 5pt ]
& = 3.03 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]
\end{align}\)
プーリーの慣性モーメント（JP）を求める
機構条件をもとに、プーリーの慣性モーメント（JP）を求めます。
\(\begin{align}
\text{プーリーの慣性モーメント}\ {J_P} & = \frac{\pi}{32}\ \rho\cdot{L}\cdot{{D_1}^4}\\[ 5pt ]
& = \frac{\pi}{32}\times\ 2.8 \times 10^3\ [\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3] \times 20 \times 10^{-3}\ [\mathrm{m}]\times {\left(31.85\times 10^{-3} [\mathrm{m}]\right)}^4\\[ 5pt ]
& = 0.0566 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]
\end{align}\)
機構条件
- ρ（密度・アルミ） ： 2.8 × 103 [kg/m3]
- L（長さ=プーリーの幅） ： 20 × 10-3 [m]
- D1（外径=プーリーの直径） ： 31.85 × 10-3 [m]
テーブルとワークの慣性モーメント（JT）を求める
機構条件をもとに、テーブルとワークの慣性モーメント（JT）を求めます。（※ 搬送テーブルの慣性モーメントを含む）
\(\begin{align}
\text{テーブルとワークの慣性モーメント}\ {J_T} & = \mathrm{m}\ \left(\frac{A}{2\pi}\right)^2\\[ 5pt ]
& = 3.5\ [\mathrm{kg}] \times \left(\frac{31.85 \times 10^{-3} \times \pi\ [\mathrm{m}]}{2\pi}\right)^2\\[ 5pt ]
& = 8.88 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]
\end{align}\)
機構条件
- D（プーリーの軸径） ： 31.85 [mm]
- ※ A（モーター軸1回転あたりの移動量）の算出に必要です
全負荷慣性モーメント（JL）を求める
プーリーの慣性モーメント（JP）と、テーブルとワークの慣性モーメント（JT）を合計し、全負荷慣性モーメント（JL）を求めます。
従動プーリーを考慮し、プーリーの慣性モーメント（JP）を2倍にして計算します。
\(\begin{align}
\text{全負荷慣性モーメント}\ {J_L} & = {J_P} \times 2[\text{個}] + {J_T}\\[ 5pt ]
& =0.0566\times 10^{-4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}] \times 2 + 8.88 \times 10^{-4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\\[ 5pt ]
& = 8.99 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}\)
インデックステーブルの慣性モーメント（JT）を求める
機構条件をもとに、インデックステーブルの慣性モーメント（JT）を求めます。
\(\begin{align}
\text{インデックステーブルの慣性モーメント}\ {J_T} & = \frac{\pi}{32}\ \rho\cdot{L_T}\cdot{{D_T}^4}\\[ 5pt ]
& = \frac{\pi}{32}\times\ 2.8 \times 10^3\ [\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3] \times 7 \times 10^{-3}\ [\mathrm{m}]\times {\left(200\times 10^{-3} [\mathrm{m}]\right)}^4\\[ 5pt ]
& = 30.8 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]
\end{align}\)
機構条件
- ρ（密度・アルミ） ： 2.8 × 103 [kg/m3]
- LT（インデックステーブルの厚さ） ： 7 × 10-3 [m]
- DT（インデックステーブルの直径） ： 200 × 10-3 [m]
ワーク中心軸回りの、テーブル上のワークの慣性モーメント（JW1）を求める
機構条件をもとに、ワーク中心軸回りの、テーブル上のワークの慣性モーメント（JW1）を求めます。
\(\begin{align}
{J_{W1}}(\text{ワーク中心軸回り})& = \frac{1}{8}\ {M_W}\cdot{{D_W}^2}\\[ 5pt ]
& = \frac{1}{8}\times\ 0.1\ [\mathrm{kg}]\times {\left(20\times 10^{-3} [\mathrm{m}]\right)}^2\\[ 5pt ]
& = 0.05 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}\)
機構条件
- MW（ワークの質量） ： 0.1 [kg]
- DW（ワークの直径） ： 20 × 10-3 [m]
テーブルの回転中心回りの、テーブル上のワークの慣性モーメント（JW）を求める
機構条件をもとに、テーブルの回転中心回りの、テーブル上のワークの慣性モーメント（JW）を求めます。
\(\begin{align}
{J_W}(\text{テーブルの回転中心回り})& = {J_{W1}}+{M_W}\times {{l}^2}\\[ 5pt ]
& = 0.05\times 10^{-4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\times\ 0.1\ [\mathrm{kg}]\times {\left(40\times 10^{-3} [\mathrm{m}]\right)}^2\\[ 5pt ]
& = 1.65 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}\)
機構条件
- MW（ワークの質量） ： 0.1 [kg]
- ｌ（テーブルの中心からワークの中心までの距離） ： 40 × 10-3 [m]
全負荷慣性モーメント（JL）を求める
インデックステーブルの負荷慣性モーメント（JT）と、テーブル上のワークの負荷慣性モーメント（JW）を合計し、全負荷慣性モーメント（JL）を求めます。
ワークは個数は4のため、テーブル上のワークの負荷慣性モーメント（JW）を4倍にして計算します。
\(\begin{align}
\text{全負荷慣性モーメント}\ {J_L} & = {J_T} + {J_W} \times 4[\text{個}]\\[ 5pt ]
& =30.8\times 10^{-4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}] + 1.65 \times 10^{-4}\ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\times 4\\[ 5pt ]
& = 37.4 \times 10^{-4} \ [\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m^2}]\end{align}\)
ここで求めた値をもとに、次のページでは、加速トルクを求めます。
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